Teorema de Thévenin y Norton

Supongamos que se nos da un circuito y que deseamos encontrar la corriente, voltaje, o la potencia que entrega a alguna resistencia de la red a la cual llamaremos carga. El teorema de thevenin nos dice que podemos reemplazar toda la red, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que obtenga solo una fuente de voltaje independiente en serie con una resistencia de tal forma que la relación corriente-voltaje en la carga se conserve sin cambio. El teorema de Norton es idéntico a la afirmación anterior con la excepción de que el circuito equivalente es una fuente de corriente independiente en paralelo con una resistencia.

Los equivalentes de Thevenin y Norton son técnicas de simplificación de circuitos que se concentran en el comportamiento en los terminales y son, por tanto, de gran ayuda durante el análisis de estas técnicas en relación con los circuitos resistivos, los circuitos equivalentes de Thevenín y de Norton pueden utilizarse para representar cualquier circuito compuesto por elementos lineales.

El teorema de Thevenin: establece que un circuito lineal de dos terminales puede reemplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de tensión VTh en serie con un resistor RTh  donde VTh es la tensión de circuito abierto en las terminales y RTh es la entrada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes se apagan.

La mejor forma de describir los circuitos equivalentes de Thevenin es haciendo referencia a la Figura 4.1, que representa cualquier circuito compuesto por fuentes (tanto dependientes como independientes) y resistencias. Las letras a y b denotan el par de terminales. La Figura 4.1 (b) muestra el equivalente de Thevenin. Por tanto, un circuito equivalente de Thevenin es una fuente de tensión independiente VTh en serie con una resistencia RTh, con las que se sustituye una interconexión de fuentes y resistencias. Esta combinación en serie de VTh y RTh ,es equivalente al circuito original en el sentido de que, si conectamos la misma carga entre los terminales a y b de ambos circuitos, obtenemos la misma tensión y corriente en los terminales de la carga. Esta equivalencia se cumple para todos los posibles valores de la resistencia de carga.

Para representar el circuito original mediante su equivalente de Thevenín, tenemos que ser primero capaces de determinar la tensión de Thevenín VTh y la resistencia de Thevenín RTh.

La tensión de circuito abierto en los terminales a y b del circuito mostrado en la Figura 4.1 (b) es VTh. Por hipótesis, esta tensión debe ser la misma que la tensión en circuito abierto en los terminales a y b del circuito original. Por tanto, para calcular la tensión de Thevenin VTh, basta con hallar la tensión de circuito abierto en el circuito original. Si reducimos la resistencia de carga a cero, tenemos una condición de cortocircuito. Si cortocircuitamos los terminales a y b del circuito equivalente de Thevenin, la corriente de cortocircuito, dirigida desde a hacia b, será:

Por hipótesis, esta corriente de cortocircuito debe ser idéntica a la corriente de cortocircuito existente en la red original cuando se cortocircuitan los terminales a y b. A partir de la ecuación anterior,

Por tanto, la resistencia de Thevenin es el cociente entre la tensión de circuito abierto y la corriente de cortocircuito.

Procedimiento del teorema de Thévenin

1. Quite la parte de la red donde se encuentra el circuito equivalente de Thévenin. En la figura 4.2 (a), esto requiere que el resistor de carga RL se quite temporalmente de la red.

2. Marque las terminales de la red restante de dos terminales (la importancia de este paso será obvia a medida que prosigamos a través de algunas redes complejas).

3. Calcule RTh. ajustando primero todas las fuentes en cero (las fuentes de voltaje se reemplazan con cortocircuitos y las fuentes de corriente con circuitos abiertos) y luego determinando la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas (si se incluye la resistencia interna de las fuentes de voltaje y/o corriente en la red original, debe permanecer cuando las fuentes se ajustan a cero).

4. Calcule VTh regresando primero todas las fuentes a su posición original y determinando el voltaje de circuito abierto entre las terminales marcadas. (Este paso es invariablemente el que provoca más confusiones y errores. En todos los casos, tenga en cuenta que es el potencial de circuito abierto entre las dos terminales marcadas en el paso 2.

5. Trace el circuito equivalente de Thévenin con la parte del circuito que previamente se quitó reemplazado entre las terminales del circuito equivalente. Este paso se indica por la colocación del resistor RL entre las terminales del circuito equivalente de Thévenin en la figura 4.2 (b).

Para aplicar esta idea en el cálculo de la resistencia de Thevenin RTh se deben considerar dos casos.

■ CASO 1 Si la red no tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuentes independientes. RTh es la resistencia de entrada que aparece entre las terminales a y b, como se advierte en la figura 4.3 b).

■ CASO 2 Si la red tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuentes independientes. Como en el caso de la superposición, las fuentes dependientes no se desactivan, porque son controladas por las variables del circuito. Se aplica una fuente de tensión V0 en las terminales a y b y se determina la corriente resultante i0. Así, RTh=V0/i0, como se señala en la figura 4.3 a). Alternativamente, puede insertarse una fuente de corriente i0 en las terminales a-b, como se muestra en la figura 4.3 b), y hallar la tensión entre las terminales V0. De nuevo, RTh=V0/i0. Los dos métodos dan el mismo resultado. En ambos puede suponerse cualquier valor de V0 e i0. Por ejemplo, puede usarse i0=1v o i0=1A, o incluso valores no especificados de V0 o i0.

Suele suceder que RTh adopte un valor negativo. En este caso, la resistencia negativa (V= -iR) implica que el circuito suministra potencia. Esto es posible en un circuito con fuentes dependientes.

El teorema de Thevenin es muy importante en el análisis de circuitos. Ayuda a simplificar un circuito. Un circuito complicado puede reemplazarse por una sola fuente de tensión independiente y un solo resistor. Esta técnica de reemplazo es una eficaz herramienta en el diseño de circuitos.

Como ya se mencionó, un circuito lineal con una carga variable puede reemplazarse por el equivalente de Thevenin, exclusivo para la carga. La red equivalente se comporta externamente de la misma manera que el circuito original.

Considérese un circuito lineal que termina con una carga RL, como se advierte en la figura 4.4 a). La corriente IL a través de la carga y la tensión VL en sus terminales se determinan con facilidad una vez que se obtiene el equivalente de Thevenin del circuito en las terminales de la carga, como se muestra en la figura 4.4 b). Con base en esta última figura, se obtiene

Nótese en la figura 4.4 b) que el equivalente de Thevenin es un divisor de tensión simple, lo que produce VL por mera inspección.

Métodos para solucionar con Thevenin

El teorema de Norton: establece que un circuito lineal de dos terminales puede reemplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de corriente IN en paralelo con un resistor RN, donde IN es la corriente de cortocircuito a través de las terminales y RN es la resistencia de entrada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes están desactivadas.

Así, el circuito de la figura 4.5 a) puede reemplazarse por el de la figura 4.5 b).

RN se halla de la misma manera que RTh. De hecho, por lo que ya se sabe sobre la transformación de fuente, las resistencias de Thevenin y de Norton son iguales; es decir,

Para encontrar la corriente de Norton IN, se determina la corriente de cortocircuito que fluye de la terminal a a la b en los dos circuitos de la figura 4.5. Es evidente que la corriente de cortocircuito de la figura 4.5 b) es IN. Ésta debe ser igual a la corriente de cortocircuito de la terminal a a la b de la figura 4.5 a), ya que ambos circuitos son equivalentes. Así,

como se indica en la figura 4.6. Las fuentes dependientes e independientes se tratan igual que en el teorema de Thevenin.

Obsérvese la estrecha relación entre los teoremas de Norton y de Thevenin: RN=RTh como en la ecuación anterior:

Esto es en esencia la transformación de una fuente. Por esta razón, a la transformación de fuentes suele llamársele transformación de Thevenin-Norton.

Puesto que VTh, IN y RTh se relacionan de acuerdo con la ecuación para determinar el circuito equivalente de Thevenin o de Norton se requiere hallar:

• La tensión de circuito abierto Voc entre las terminales a y b.

• La corriente de cortocircuito isc por las terminales a y b.

• La resistencia equivalente o de entrada Ren en las terminales a y b cuando todas las fuentes independientes están apagadas.

Se pueden calcular dos de las tres siguiendo el método que implique el menor esfuerzo y emplearlas para obtener la tercera aplicando la ley de Ohm.

las pruebas en circuito abierto y en cortocircuito son suficientes para hallar cualquier equivalente de Thevenin o Norton de un circuito que contenga al menos una fuente independiente.

Procedimiento del teorema de Norton:

1. Quite la parte de la red a través de la cual se encuentra el equivalente de Norton.

2. Marque las terminales de la red restante de dos terminales.

3. Calcule RN ajustando primero a cero todas las fuentes (las fuentes de voltaje se reemplazan con cortocircuitos y las fuentes de corriente con circuitos abiertos) y luego determinando la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas. (Si la resistencia interna de las fuentes de voltaje y/o corriente está incluida en la red original, debe permanecer cuando las fuentes se ajustan a cero.) Como RN=RTh, el procedimiento y el valor obtenido con el método descrito para el teorema de Thévenin determinarán el valor apropiado de RN.

4. Calcule IN regresando primero todas las fuentes a su posición original y luego determinando la corriente de cortocircuito entre las terminales marcadas. Es la misma corriente que mediría con un amperímetro colocado entre las terminales marcadas.

5. Trace el circuito equivalente de Norton con la parte del circuito previamente retirado reemplazado entre las terminales del circuito equivalente.

Métodos para solucionar con Norton

A continuación unos ejemplos sobre el tema 

En este vídeo se pueden ver una manera de como se aplica el teorema de thevenin y norton